Valeurs remarquables du sinus et du cosinus

Propriété 

On a les valeurs suivantes :

Démonstration  

• La définition du cosinus et du sinus d'un réel fournit les résultats  \(\cos(0)=1\) et  \(\sin(0)=0\)  ;   \(\cos(\dfrac{\pi}{2})=0\)  et  \(\sin(\dfrac{\pi}{2})=1\)  et  \(\cos(\pi)=-1\)  et  \(\sin(\pi)=0\) . 
  
• Soit \(\text M\) l'image du réel \(\dfrac π 4\) par enroulement de la droite tangente au cercle au point \(\text I\) , soit `\text{H}` le projeté orthogonal de `\text{M}` sur `\text{(OI)}` . Le triangle \(\text{OMH}\) est rectangle en \(\text{H}\) et isocèle. On en déduit que
  \(\text{OH}=\text{HM}\)  d'où \(\cos(\dfrac{π}{4})=\sin(\dfrac{π}{4})\) . 
  Or \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\) équivaut à \(\cos^2(\dfrac{π}{4})+\cos^2(\dfrac{π}{4})=1\) c'est-à-dire
  \(2\cos^2(\dfrac{π}{4})=1\) soit \(\cos^2(\dfrac{π}{4})=\dfrac1 2\) . \(\text{OH}=\cos(\dfrac{\pi} 4)\) implique que \(\cos(\dfrac\pi4)\) est positif et on en déduit \(\cos(\dfrac{π}{4})=\dfrac{\sqrt{2}} 2\) .
  
• Soit \(\text M\) l'image du réel \(\dfrac π 3\) par enroulement de la droite tangente au cercle au point \(\text I\) ,   soit `\text{H}` le projeté orthogonal de `\text{M}` sur `\text{(OI)}`   . Le triangle \(\text{OMI}\) est un triangle équilatéral. On en déduit directement que \(\text{OH}=\text{HI}=\dfrac 1 2 \text{OI}= \dfrac{1}{2}\) , donc \(\cos(\dfrac{π}{3})=\dfrac{1}{2}\) . On a donc : \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1⇔\dfrac{1}{4}+\sin^2(\dfrac{π}{3})=1\)  
  \(⇔\sin^2(\dfrac{π}{3})=\dfrac{3}{4}⇔\sin(\dfrac{π}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . 
  
• Soit \(\text M\) l'image du réel \(\dfrac π 6\) par enroulement de la droite tangente au cercle au point \(\text I\) ,   soit `\text{H}` le projeté orthogonal de `\text{M}` sur `\text{(OI)}` . Dans ce cas, le triangle   \(\text{OMJ}\) est un triangle équilatéral. On en déduit directement que  \(\text{HM}=\sin(\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{2}\text{OJ}=\dfrac{1}{2}\) . On a donc : \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1⇔\cos^2(\dfrac{π}{6})+\dfrac{1}{4}=1\)  
  \(⇔\cos^2(\dfrac{π}{6})=\dfrac{3}{4}⇔\cos(\dfrac{π}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .